Ejercicios resueltos de recta tangente usando derivación implicita

ELABORADO POR:  EDGAR STEVE TORRES MONTAÑA

CALCULO INTEGRAL

SABADOS   III SEMESTRE

EJERCICIOS PLANTEADOS

1-)  y=-2(3x+4)3-2x   CON  x= -1

2-)  y=(5×-4)2+3x2      CON  x= -2

SOLUCION  PRIMER EJERCICIO

y=-2(3x+4)3-2x   CON   x= -1

primero reemplazamos  X en la ecuación inicial y nos  queda así:

y=-2(3(-1)+4)3-2(-1)   CON   x= -1

y al resolver estas operaciones  nos queda así:

y=-2(-3+4)3-2(-1)

y=-2(1)3-2(-1)

y=-2(1)-2(-1)

y=-2(1)+2

y=-2+2

y=0

en este punto ya conocemos el valor de Y, ahora sigue derivar la ecuación principal o inicial, y asi obtendremos el valor de la pendiente (m), derivemos:

debemos aplicar aquí la regla de la cadena, derivando primero externamente y luego internamente asi:

el primer termino es    -2(3x+4)3   y la derivada externa se hace bajando el exponente   3   y multiplicarlo por   -2  que es el factor del paréntesis y reescribir el termino restándole uno al exponente y nos queda entonces  (3)(-2)(3x+4)2  , luego hacemos la derivada interna que es derivar al interior del paréntesis donde tenemos  3x+4, la derivada de 3x es 3 porque se multiplica el uno que tiene la x como exponente por el 3 y nos da 3, y al restarle 1 al exponente de la x pues esta desaparece y por eso nos queda que la derivada de 3x es 3, y la derivada de 4 es cero porque la derivada de una constante siempre es cero.

Luego derivamos el segundo termino de la ecuación inicial que es -2x y nos queda que es igual a  -2.

Ahora ya tenemos las derivadas de la ecuación inicial y reescribimos el ejercicio:

y=-2(3x+4)3-2x

y’=(3)(-2)(3x+4)2(3)-2

y’=-6(3x+4)2(3)-2

y’=-18(3x+4)2-2

ahora como ya tenemos  y’ ,  reemplazamos de nuevo la x en esta ecuación y asi hallamos el valor de  la pendiente (m):

m=-18(3x+4)2-2

m=-18(3(-1)+4)2-2

m=-18(-3+4)2-2

m=-18(1)2-2

m=-18(1)-2

m=-18-2

m=-20

la ecuación general de la recta nos doce que   y=mx+b,  como ya tenemos los valores de y, m, Y  x, podemos averiguar el valor de b que es  el que nos falta:

y=0,  m=-20, x=-1 entonces

0=-20(-1)+b

0=20+b

-20=b

b=-20

ahora como ya tenemos el valor de todas las incognitas, reescribimos la ecuación general de la recta que no quedaría asi:

y=-20×-20,     que es la ecuación general de la recta tangente a la grafica de la función

y=-2(3x+4)3-2x  , esta recta tangente corta esta grafica en el punto (-1, 0) y corta el eje y en  -20.

SOLUCION  SEGUNDO EJERCICIO

y=(5×-4)2+3x2      CON  x= -2

primero reemplazamos  X en la ecuación inicial y nos  queda asi:

y=(5(-2)-4)2+3(-2)2      CON  x= -2

y al resolver estas operaciones  nos queda asi:

y=(5(-2)-4)2+3(-2)2

y=(-10-4)2+3(4)

y=(-14)2+12

y=196+12

y=208

en este punto ya conocemos el valor de Y, ahora sigue derivar la ecuación principal o inicial, y asi obtendremos el valor de la pendiente (m), derivemos:

debemos aplicar aquí la regla de la cadena, derivando primero externamente y luego internamente asi:

el primer termino es    (5×-4)2   y la derivada externa se hace bajando el exponente   2   y multiplicarlo por  el paréntesis y reescribir el termino restándole uno al exponente y nos queda entonces  2(5×-4)  , luego hacemos la derivada interna que es derivar al interior del paréntesis donde tenemos  5×-4, la derivada de 5x es 5 porque se multiplica el uno que tiene la x como exponente por el 5 y nos da 5, y al restarle 1 al exponente de la x pues esta desaparece y por eso nos queda que la derivada de 5x es 5, y la derivada de -4 es cero porque la derivada de una constante siempre es cero.

Luego derivamos el segundo termino de la ecuación inicial que es 3x2 y nos queda que es igual a  6X.

Ahora ya tenemos las derivadas de la ecuación inicial y reescribimos el ejercicio:

y=(5×-4)2+3x2    

y’=2(5×-4)(5)+6X

y’=10(5×-4)+6X

ahora como ya tenemos  y’ ,  reemplazamos de nuevo la x en esta ecuación y asi hallamos el valor de  la pendiente (m):

m=10(5(-2)-4)+6(-2)

m=10(-10-4)-12

m=10(-14)-12

m=-140-12

m=-152

la ecuación general de la recta nos doce que   y=mx+b,  como ya tenemos los valores de y, m, Y  x, podemos averiguar el valor de b que es  el que nos falta:

y=208,  m=-152, x=-2 entonces

208=-152(-2)+b

208=304+b

-304+208=b

b=-96

ahora como ya tenemos el valor de todas las incognitas, reescribimos la ecuación general de la recta que no quedaría asi:

y=-152×-96,     que es la ecuación general de la recta tangente a la grafica de la función

y=(5×-4)2+3x2  , esta recta tangente corta esta grafica en el punto (-2, 208) y corta el eje y en  -96.

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~ por eassm81 en 23 junio 2011.

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